‎نقطه ثابت مشترک در فضاهای (‎‎cat(0 و فضاهای متریک به طور یکنواخت محدب‎

فضاهای (‎cat(0‏، رده ای از فضاهای متریک است که با استفاده از‎ ‎مفاهیم‎ هندسی و ژئودزیک‎‎ معرفی ‎‎می شود. در این فضاهای متریک‏، مفهوم تحدب به شیوه مناسبی معرفی می شود. این ابزار مفید‏، باعث می شود که بسیاری از مفاهیم آنالیز محدب از جمله نظریه نقطه ثابت‏، در این رده از فضاهای متریک‏، خواص جالب و مفیدی داشته باشد. ‎‎نظریه نقطه ثابت در فضای ‎$ ‎cat(0)‎ $‎‎ اولین بار توسط کرک در سال 2004 مطالعه شد. او ثابت کرد که هر نگاشت ناانبساطی تک مقداری روی زیرمجموعه ی محدب‏، بسته و کران دار در فضای ‎$ ‎cat(0)‎ $‎ همیشه دارای نقطه ثابت است. اگر ‎$ ‎k‎ $‎ زیرمجموعه ی محدب‏، بسته و کران دار از یک فضای ‎$ ‎cat(0)‎ $‎ کامل باشد و ‎$ ‎t:k‎longrightarrow ‎k‎ $‎ نگاشت شبه ناانبساطی تک مقداری و ‎$ ‎t‎ $‎‎ یک نگاشت چندمقداری روی ‎$ ‎k‎ $‎‎ با مقادیر فشرده و محدب باشد‏، در این صورت ثابت می شود که ‎$ ‎t‎ $‎ و ‎$ ‎t‎ $‎ دارای نقطه ثابت مشترک هستند‏، به شرطی که ‎$ ‎t‎ $‎ و ‎$ ‎t‎ $‎ دو نگاشت جابه جاشونده باشند که در شرایط مناسبی به نام شرایط ‎‎ ‎$ ‎(e)‎ $‎یا ‎$ ‎ (c‎_{‎lambda‎ })‎‎ $ ‎ ‎‎ ‏، به ازای یک ‎$ ‎lambda‎ ‎in ‎(0,1)‎ $‎ ‏، صدق کنند. به عبارت دیگر نقطه ی ‎$ ‎z‎in ‎k‎ $‎ موجود است که ‎$ ‎z=t(z)‎in ‎t(z)‎ $‎ . این نتایج در فضاهای متریک به طور یکنواخت محدب نیز گسترش می یابند.